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【線形代数学】逆行列と正則行列

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線形代数の基礎となる「逆行列」について知りたい



キーワード・知ってると理解がしやすい

Index

逆行列 とは

かけると 1 になる行列です. 2 \times \frac{1}{2} = 1 となるように、2 に対する \frac{1}{2} のような存在になります. (逆もまた然り) スカラーでいう逆数のようなものです.

定義

B を n \times n の正方行列とする. 正方行列 X が以下の条件を満たすとき、 B の逆行列であるといい、 B^{-1} と表現する. (ビーのインバースとか読む)
XB = BX = I_{n}
( I_{n} は単位行列) また、このような X が存在するとき「B は 正則 である」 または「B は正則行列である」という.

性質

1.\ \ (A^{-1})^{-1} = A \\ 2.\ \ (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} \\ 3.\ \ (A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}

例

3 x 3 の行列を想定する.

A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 6 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 4 \\ \end{pmatrix}


この行列 A の逆行列を F とすれば、以下のようになる

F = \begin{pmatrix} 3 & 34 & -13 \\ -1 & -10 & 4 \\ -1 & -13 & 5 \\ \end{pmatrix}


実際に計算してみると

AF = \begin{pmatrix} 6 + 1 - 6 & 68 + 10 -78 & -26 - 4 + 30 \\ 3 - 2 - 1 & 34 - 20 - 13 & -13 + 8 + 5 \\ 9 - 5 - 4 & 102 -50 - 52 & -39 + 20 + 20 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = I


単位行列になっていることがわかる.

まとめ

参考