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【幾何学】距離 #まとめ編

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距離関数

X を空でない集合とする.
\forall\ x,\ \forall\ y\ \in\ X に対して、実数 d(x, y) が定まっていて、次の 3 条件を満たしているとき、 2 変数関数 d を集合 X 上の距離関数という.

  1. \forall\ x,\ \forall\ y\ \in\ X に対して、以下の条件を満たす

    1. d(x, y) \leq 0 (距離は必ず 0 以上)

    2. d(x, y) = 0\ \Leftrightarrow\ x = y
      (距離が 0 なら同じ要素 (点) だし、同じ要素 (点) なら距離は 0)

  2. \forall\ x,\ \forall\ y\ \in\ X に対して、「 d(x, y)\ =\ d(y, x) 」を満たす.
    ( x から y への距離も、 y から x への距離も同じ)

  3. \forall\ x,\ \forall\ y,\ \forall\ z\ \in\ X に対して、「 d(x, z) \leq d(x, y)\ +\ d(y, x) 」を満たす.
    ( x から z への距離は d(x, z) 以外に短い経路はない)

距離空間

距離関数 d を備えた集合 X を距離空間といい、
距離空間の要素を点 (座標) といい、
d(x, y) を距離 という.

距離の種類

参考