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自己共分散 / Auto Covariance

自己共分散 / Auto Covariance は時系列データ特有の統計量である.

自己共分散は、同一の時系列データにおける異時点間の共分散である.

1次の自己共分散

$\gamma\ =\ Cov (y_{t},\ y_{t-1})\ =\ E[(y_{t}\ -\ \mu_{t})(y_{t}\ -\ \mu_{t-1})$ ]

ここで、 $\mu_t\ =\ E(y_t)$ である.

自己共分散は、共分散を計算する 2 つの確率変数が、同一の時系列データの要素であることを除いては、通常の共分散と変わらない.

1 次の自己共分散が正であれば、1 時点離れたデータは期待値を基準として同じ方向に動く傾向があり、
逆に、1 次の自己共分散が負であれば、1 時点離れたデータは期待値を基準として逆の方向に動く傾向がある.

これを一般化して、 $k$ 次の自己共分散の定義が以下である.

k次の自己共分散

$\gamma\ =\ Cov (y_{t},\ y_{t-k})\ =\ E[(y_{t}\ -\ \mu_{t})(y_{t}\ -\ \mu_{t-k})$ ]

ここで、 $\mu_t\ =\ E(y_t)$ である.

分散は、0 次の共分散と考えることができる.