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【時系列解析】自己相関係数

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自己相関係数 / Auto Correlation Coefficient

時系列データ特有の統計量の一つとして、自己共分散を基準化した
自己相関係数 / Auto Correlation Coefficientがある.

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自己共分散の 1 つの問題点は、値が単位に依存してしまうことにある.

つまり、自己共分散の値によって、(単位の揃っていない)変数間の関係の強弱を測ることはできない.

そこで、値が単位に依存しないように、自己共分散を基準化したものが、自己相関係数である.

自己相関係数

\begin{align} \rho_{k,\ t}\ &=\ Corr(y_{t},\ y_{t-k}) \\ \\ &=\ \displaystyle \frac{Cov(y_{t},\ y_{t-k})}{\sqrt{Var(y_{t}) \cdot Var(y_{t-k})}} \\ \\ &=\ \displaystyle \frac{\gamma_{k,\ t}}{\sqrt{\gamma_{0,\ t} \cdot \gamma_{0,\ t-k}}} \end{align}



k 次の自己共分散は、定義より、 Cov(y_{t},\ y_{t - k})\ =\ \gamma_{k,\ t} となる.

分散 Var(y_t) は、 0 次の共分散と考えられるので、
Var(y_t)\ =\ Cov(y_t,\ y_{t-0})\ =\ \gamma_{0,\ t} と考えられる.



自己相関係数は、単に自己相関とも呼ばれる.

また、定義より、 \rho_{0,\ t}\ =\ 1 であることは明らかであり、
自己相関係数は、相関係数の一種であるので、
k\ \geq\ 1 において、 |\rho_{k,\ t}|\ \leq\ 1 が成立する.

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参考