オムライスの備忘録

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【線形代数学】分野一覧 #まとめ編

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線形代数学

ベクトル

平面または空間におけるベクトルとは、方向と長さを合わせた概念である.

矢印の始点を P、終点を Q とするとき、 \overrightarrow{PQ} と書く.

ベクトル

「向きと長さの等しい矢印をすべて同じものとみたもの」



直線

ベクトルの概念を使って直線を表す方法を考える.

方向ベクトル

直線 l 上に二点 [tex: P{1},\ P{2}] を取る.

[tex: P{1}] の位置ベクトルを [tex: x{1}] とし、 [tex: a\ =\ \overrightarrow{P{1}P{2}}] とおく.

任意の変数 t に対し、 x_{1}\ +\ t\ a を位置ベクトルとする点は、直線 l 上にある.

逆に、直線 l 上の任意の点 P に対して、適当な値 t を取れば、 \overrightarrow{OP}\ =\ x_{1}\ +\ t\ a とかける.

これを直線 l のベクトル表示、あるいは助変数表示という.

変数 t を助変数、 a を直線 l の方向ベクトルという.

法線ベクトル

平面

ベクトル空間

以下の条件を満たすとき、 V を R 上のベクトル空間とよぶ.

ベクトル空間

  • \forall\ v,\ \forall\ v^{'}\ \in\ V に対して、 v\ +\ v^{'}\ \in\ V
  • \forall\ \lamdba\ \in\ R,\ \forall\ v,\ \in\ V に対して、 \lambda\ v\ \in\ V

行列

逆行列と正則行列

階数 / Rank

行列式

特異値分解 / Singular Value Decomposition / SVD

線型空間

参考

書籍

動画