オムライスの備忘録

数学・統計学・機械学習・プログラミングに関することを記す

【線形代数学】分野一覧 #まとめ編

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線形代数

ベクトル

平面または空間におけるベクトルとは、方向と長さを合わせた概念である.

矢印の始点を  P、終点を  Q とするとき、 \overrightarrow{PQ} と書く.

ベクトル

「向きと長さの等しい矢印をすべて同じものとみたもの」

零ベクトル

長さが  0 で、方向のないベクトルを零ベクトルといい、 \boldsymbol{0} と書く.

ベクトルの加法

ベクトルの加法 ベクトル  \boldsymbol{a},\ \boldsymbol{b} に対して、以下の式が成り立つ.

  1.  \boldsymbol{a}\ +\ \boldsymbol{b}\ =\ \boldsymbol{b}\ +\ \boldsymbol{a} (交換法則)
  2.  (\boldsymbol{a}\ +\ \boldsymbol{b})\ +\ \boldsymbol{c}\ =\ \boldsymbol{a}\ +\ (\boldsymbol{b}\ +\ \boldsymbol{c}) (結合法則)
  3.  \boldsymbol{a}\ +\ \boldsymbol{0}\ =\ \boldsymbol{a} (零ベクトル)

逆ベクトル

ベクトル  \boldsymbol{a}\ =\ \overrightarrow{PQ} に対して、逆向きのベクトル  \overrightarrow{QP} \boldsymbol{a}逆ベクトルという.

ベクトルのスカラー

ベクトル  \boldsymbol{a} と実数  c に対し、  \boldsymbol{a} c 倍と呼ばれるベクトルを  c \boldsymbol{a} と書き、以下のように定義する.

  •  c\ >\ 0 のとき、 \boldsymbol{a} と同じ向きで、長さが  c 倍のベクトル
  •  c\ <\ 0 のとき、 \boldsymbol{a} と逆向きで、長さが  |c| 倍のベクトル
  •  c\ =\ 0 のとき、 c \boldsymbol{a}\ =\ \boldsymbol{0} となり、零ベクトル

ベクトルの成分

あるベクトル  \boldsymbol{a} は、存在する座標系の関する成分を持ち、以下のように書く.


\boldsymbol{a}\ =\ \begin{pmatrix}a \\ b \\ c \end{pmatrix}

位置ベクトル

原点  O とある点  P に対して、ベクトル  x\ =\ \overrightarrow{OP} P の 位置ベクトルという.

単位ベクトル

空間ベクトル全体の集合を  V^{3}\ \subseteq\ R^{3} とする.

特別な以下のベクトル

 
\boldsymbol{e}_{1}\ =\ \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\ 
\boldsymbol{e}_{2}\ =\ \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ 
\boldsymbol{e}_{3}\ =\ \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}



 V^{3} のこの座標系に関する単位ベクトルという.

線形独立

線形結合

行列

線型空間

参考