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【統計学】同時確率分布 / Joint Probability Distribution

データサイエンス データサイエンス-統計学

2 次元の確率分布

同時確率分布 / Joint Probability Distribution

2 つの離散型の確率変数 X,\ Y が存在するとする.



X のとりうる値は、 \{x_{1},\ x_{2},\ \cdots,\ x_{k}\}

Y のとりうる値は、 \{y_{1},\ y_{2},\ \cdots,\ y_{l}\}



であるとする.

変数の組み合わせ (X,\ Y) は、 k\ \times\ l 個の異なった値をとる.

X\ =\ x_{i},\ Y\ =\ y_{j} となる確率は、



P(X\ =\ x_{i},\ Y\ =\ y_{j})\ =\ f(x_{i},\ y_{j})



となるり、これを X と、 Y の同時確率分布と呼ぶ.

同時確率密度関数

X,\ Y が、連続型の場合、 (X,\ Y) が (x,\ y) と (x\ +\ \Delta\ x,\ y\ +\ \Delta\ y) で決まる長方形に入る確率

p\ =\ P(x\ <\ X\ \leq\ x\ +\ \Delta\ x,\ y\ <\ Y\ \leq\ y\ +\ \Delta\ y)


を考える.

これは、 \Delta\ x,\ \Delta\ y を小さくすると 0 に収束するので、長方形の面積 \Delta\ x\ \times\ \Delta\ y で割って、 \Delta\ x\ \rightarrow\ 0,\ \Delta\ y\ \rightarrow\ 0 とした極限を f(x,\ y) すなわち、

f(x,\ y)\ =\ \displaystyle \lim_{\Delta\ x,\ \Delta\ y\ \rightarrow\ 0} \displaystyle \frac{P(x\ <\ X\ \leq\ x\ +\ \Delta\ x,\ y\ <\ Y\ \leq\ y\ +\ \Delta\ y)}{\Delta\ x\ \times\ \Delta\ y}


とする.

f(x,\ y) は同時確率密度関数とよばれる.

参考