オムライスの備忘録

数学・統計学・機械学習・プログラミングに関することを記す

トップ > 【画像処理】フーリエ変換 / Fourier Transform

【画像処理】フーリエ変換 / Fourier Transform

Index

フーリエ変換 / Fourier Transform とは

画像処理におけるフーリエ変換について述べる.

画像のフィルタリング、復元・再構成、テクスチャ解析、符号化など様々な処理に利用される.

定式化

一般に、画像は2次元配列で定義されたある関数 f(x,\ y) として表される. そこで、画像のフーリエ変換には、以下に示す 2次元フーリエ変換 (単にフーリエ変換と呼ぶ) が用いられる. 画像を f(x,\ y) とするとき、そのフーリエ変換 F(u,\ v) は以下のように定義される.

\displaystyle \int_{-\ \infty}^{\infty}\ \int_{-\ \infty}^{\infty}\ f(x,\ y)\ \exp\ \{\ -j\ 2\pi\ (ux\ +\ vy)\}\ dxdy


ここで、

となる.



フーリエ変換により、 x,\ y で表される空間 (空間領域 / Spatial Domain) の関数 f(x,\ y) で 表現される画像が、 u,\ v で表される別の空間 (周波数領域 / Frequncy Domain) の関数 F(u,\ v) という別の形で表現されることになる.

逆フーリエ変換 / Inverse Fourier Transform

振幅スペクトル / Amplitude Spectrum

位相スペクトル / Phase Spectrum

パワースペクトル / Power Spectrum

離散的フーリエ変換 / Discrete Fourier Transform

高速フーリエ変換 / Fast Fourier Transform / FFT

周波数フィルタリング

画像はフーリエ変換により、周波数領域における別の形で表現される. そして、フーリエ変換の結果は、画像に含まれるそれぞれの周波数成分を表している. そこで、フーリエ変換後の各周波数成分の大きさを各成分ごとに変えることにより、元の画像の性質を変化させることができる. このような処理を週数フィルタリング (Frequency Filtering) とよぶ. 元の画像をフーリエ変換したものを F(u,\ v) 、フィルタリングの出力を G(u,\ v) とするとき周波数フィルタリングは以下の式で表すことができる.

G(u,\ v)\ =\ F(u,\ v)\ H(u,\ v)


ここで、 H(u,\ v) が周波数フィルタリングである.



ディジタル画像処理

畳み込み積分

参考

書籍

Web サイト