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【線形代数学】線形空間・線形写像

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「線形空間」について知りたい

キーワード・知ってると理解がしやすい

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定義

集合 V が次の 2条件 ( Ⅰ ), ( Ⅱ ) を充すとき、V を 複素線形空間 あるいは 複素ベクトル空間 という

  1. V の元 x, y \in V に対し、和演算により元が定まり ( = x + y \in V) 次の条件を充す

    1. ( x + y ) + z = x + ( y + z ) : 結合法則
    2. x + y = y + x : 交換法則
    3. 零ベクトルの存在
    4. 逆ベクトルの存在

  2. 任意の V の元 \forall x, \forall y \in V と 任意の複素数 \forall a \in \mathbb{C}に対し、積演算により元が定まり ( = ax \in V) 、次の条件を充す

    1. ( a + b ) x = ax + ab : 分配法則
    2. a( x + y ) = ax + ay : 分配法則
    3. ( ab ) x = a ( bx ) : 結合法則
    4. 単位元 (単位ベクトル) の存在


以上の 2条件 ( Ⅰ ), ( Ⅱ ) を複素線形空間の公理 という. そして、V の元を ベクトル という.

「複素数」から「実数」

上の定義に現れる言葉「複素」をすべて「実」で置き換えれば、実線形空間 が定義される. 線形空間の一般論は「複素」「実」の両方に ついて、並行に進む. 複素数の集合 \mathbb{C} および、実数の集合 \mathbb{R} の両方を、統一的に記号 \mathbb{K} で表すこともある.

線形写像 の定義

\mathbb{K} 上の線形空間 V から \mathbb{K} 上の線形空間 V^{'} への写像 T が以下の 2条件

  1. T(x + y) = T(x) + T(y)
  2. T(ax) = a T(x)

を充すとき、 T を V から V^{'} への線形写像という


元の所属を確認しておくと、

x, y \in V, (x + y \in V),
T(x), T(y) \in V^{'}, ( T(x) + T(y) \in V^{'} ),
a \in \mathbb{K}, ax \in V, aT(x) \in V^{'}

参考