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線形結合
- 線形関係
線形独立・従属
基底
次元
参考

線形結合

$\mathbb{K}$ 上の線形空間 $V$ を固定する
$V$ のベクトル $\boldsymbol{a_1}, \cdots, \boldsymbol{a_k} \in V$ に対し、

$c_1 \boldsymbol{a_1} + \cdots + c_k \boldsymbol{a_k}$

の形のベクトルを $\boldsymbol{a_1}, \cdots, \boldsymbol{a_k}$ の 線形結合 という

線形関係

ベクトル $\boldsymbol{a_1}, \cdots, \boldsymbol{a_k}$ のあいだの関係

$c_1 \boldsymbol{a_1} + \cdots + c_k \boldsymbol{a_k} = \bf{0}$

を 線形関係 という. $\boldsymbol{a_1}, \cdots, \boldsymbol{a_k}$ がどんなベクトルであっても、線形関係はかならず存在する. それは、 $c_1 = \cdots = c_k = 0$ のときで、この場合は、自明な線形関係と呼ばれる.

線形独立・従属

$\boldsymbol{a_1}, \cdots, \boldsymbol{a_k}$ のあいだに自明でない線形関係が存在するとき、 $\boldsymbol{a_1}, \cdots, \boldsymbol{a_k}$ は線形従属であるといい、 $\boldsymbol{a_1}, \cdots, \boldsymbol{a_k}$ のあいだに自明でない線形関係が存在しないとき、 $\boldsymbol{a_1}, \cdots, \boldsymbol{a_k}$ は線形独立であるという.