オムライスの備忘録

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【線形代数学】行列式

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線形代数の基礎となる「行列式」について知りたい



キーワード・知ってると理解がしやすい

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行列式 とは

線形変換後の空間が、線形変換前の空間に比べてどれだけ変化しているかを表す数値です.

表記

正方行列 A に対して、行列式  |A| または det(A) と表現します.

計算方法


\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{vmatrix}
= a_{11}a_{22} - a_{12} a_{21}

性質

2 x 2 の行列の行式の性質を考えます.


 a_i, a'_j, a''_k を長さ2の横ベクトルとする.


(1) 
\begin{vmatrix}
a_1 \\
a'_2 + a''_2 \\
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
a_1 \\
a'_2 \\
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
a_1 \\
a''_2 \\
\end{vmatrix}

(2) 
\begin{vmatrix}
c a_1 \\
a_2 \\
\end{vmatrix}
=
c
\begin{vmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
\end{vmatrix}

(3) 
\begin{vmatrix}
a_2 \\
a_1 \\
\end{vmatrix}
=
-
\begin{vmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
\end{vmatrix}


n 次正方行列 A に対して

「Aが正則行列である」  \Longleftrightarrow det(A)  \neq 0
「rank(A) = n」  \Longleftrightarrow det(A)  \neq 0

まとめ

  • 行列式とは、ある行列に対する数、量、スカラーのこと
  • 幾何学的な意味としては「線形変換後の空間が、線形変換前の空間に比べてどれだけ変化しているかを表す数値」

参考

書籍

Webサイト