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【線形代数学】ベクトル / Vector #まとめ編

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ベクトル

平面または空間におけるベクトルとは、方向と長さを合わせた概念である.

矢印の始点を P、終点を Q とするとき、 \overrightarrow{PQ} と書く.

ベクトル

「向きと長さの等しい矢印をすべて同じものとみたもの」

零ベクトル

長さが 0 で、方向のないベクトルを零ベクトルといい、 \boldsymbol{0} と書く.

ベクトルの加法

ベクトルの加法 ベクトル \boldsymbol{a},\ \boldsymbol{b} に対して、以下の式が成り立つ.

  1. \boldsymbol{a}\ +\ \boldsymbol{b}\ =\ \boldsymbol{b}\ +\ \boldsymbol{a} (交換法則)
  2. (\boldsymbol{a}\ +\ \boldsymbol{b})\ +\ \boldsymbol{c}\ =\ \boldsymbol{a}\ +\ (\boldsymbol{b}\ +\ \boldsymbol{c}) (結合法則)
  3. \boldsymbol{a}\ +\ \boldsymbol{0}\ =\ \boldsymbol{a} (零ベクトル)

逆ベクトル

ベクトル \boldsymbol{a}\ =\ \overrightarrow{PQ} に対して、逆向きのベクトル \overrightarrow{QP} を \boldsymbol{a} の逆ベクトルという.

ベクトルのスカラー倍

ベクトル \boldsymbol{a} と実数 c に対し、 \boldsymbol{a} の c 倍と呼ばれるベクトルを c \boldsymbol{a} と書き、以下のように定義する.

  • c\ >\ 0 のとき、 \boldsymbol{a} と同じ向きで、長さが c 倍のベクトル
  • c\ <\ 0 のとき、 \boldsymbol{a} と逆向きで、長さが |c| 倍のベクトル
  • c\ =\ 0 のとき、 c \boldsymbol{a}\ =\ \boldsymbol{0} となり、零ベクトル

ベクトルの成分

あるベクトル \boldsymbol{a} は、存在する座標系の関する成分を持ち、以下のように書く.

\boldsymbol{a}\ =\ \begin{pmatrix}a \\ b \\ c \end{pmatrix}

位置ベクトル

原点 O とある点 P に対して、ベクトル x\ =\ \overrightarrow{OP} を P の 位置ベクトルという.

単位ベクトル

空間ベクトル全体の集合を V^{3}\ \subseteq\ R^{3} とする.

特別な以下のベクトル

\boldsymbol{e}_{1}\ =\ \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\ \boldsymbol{e}_{2}\ =\ \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ \boldsymbol{e}_{3}\ =\ \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}



V^{3} のこの座標系に関する単位ベクトルという.

線形独立

二つのベクトル a,\ b が、並行でないとき、それらは、線形独立 であるという.

三つのベクトル a,\ b,\ c が同一平面上の矢印で表示されないとき、 それらは線形独立であるという.

線形結合

ベクトル a,\ b,\ c が線形独立ならば、任意のベクトルは、

xa\ +\ yb\ +\ zc



の形に一意的にかける.

この形のベクトルを a,\ b,\ c の線形結合という.

ベクトルの長さ

内積

参考