検出器 / Detector
- yhayato1320.hatenablog.com

Index

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空間フィルタリングとは
数学的定義
- 相関 / Correlation
- 畳み込み / Convolution
様々な空間フィルタ
応用アルゴリズム
参考

空間フィルタリングとは

検出器の基本となる空間フィルタリング / Spatial Filtering という操作・処理がある.

空間フィルタリングとは、注目画素の値とその近傍領域の画素値を入力として出力画像に対応する画素値を計算する処理のこと.

空間フィルタリングは、単にフィルタとも呼ばれる.

数学的定義

空間フィルタリングは、線形と非線形におおまかに分類できるが、 線形空間フィルタリングを考える.

線形空間フィルタリングは、出力画素の値が、入力画素の近傍の画素値の線形結合になる処理.

入力画像を $I$ 、注目する画素の座標を $(x,\ y)$ とする.

周辺の画素の座標は、 $(x-1,\ y-1),\ (x+1,\ y+1)$ のように表せる.

また、画素値は、 $I(x,\ y)$ や $I(x-1,\ y-1),\ I(x+1,\ y+1)$ のように書ける.

そして、空間フィルタリングによって出力される座標を $(x,\ y)$ としたとき、その画素値は $\tilde{I}(x,\ y)$ とする.

周辺 (近傍) の範囲を $N$ とすると、(例では、 $N=1$ ) 近傍領域の大きさは、 $(2N\ +\ 1)\ \times\ (2N\ +\ 1)$ となる. (例では、 $3\ \times\ 3$ である.)

そして、空間フィルタリングで出力される画素値の値は以下のように計算される.

$\tilde{I}(x,\ y)\ =\ \displaystyle \sum_{j=-N}^{N} \displaystyle \sum_{i=-N}^{N} F(i,\ j)\ I(x\ +\ i,\ y\ +\ j) \tag{1}$

ここで、計算に利用されている $F$ が登場している.

$F$ は、画素に対する重みを表現している $(2N\ +\ 1)\ \times\ (2N\ +\ 1)$ の行列で、 カーネル、マスク、と呼ばれる.

カーネルの大きさは、近傍の大きさと同じになっている.

また、 $F(i,\ j)$ はフィルタ係数とも呼ぶ.

相関 / Correlation

ここまで、空間フォルタリングの処理を記したが、式 (1) の計算方法で出力する処理を 相関 / Correlation と呼ぶ.

上の例では、

$\begin{array}{ccccccc} \tilde{I}(x,\ y)&=& \displaystyle \sum_{j=-N}^{N} \displaystyle \sum_{i=-N}^{N} F(i,\ j)\ I(x\ +\ i,\ y\ +\ j) \\ \\ &=& F(-1,\ -1)\ I(x-1,\ y-1) &+& F(0,\ -1)\ I(x,\ y-1) &+& F(1,\ -1)\ I(x+1,\ y-1)\\ \\ &+& F(-1,\ 0)\ I(x-1,\ y) &+& F(0,\ 0)\ I(x,\ y) &+& F(1,\ 0)\ I(x+1,\ y)\\ \\ &+& F(-1,\ 1)\ I(x-1,\ y+1) &+& F(0,\ 1)\ I(x,\ y+1) &+& F(1,\ 1)\ I(x+1,\ y+1) \end{array}$

と計算できる.

畳み込み / Convolution

また、相関とは別の計算方法として、畳み込み / Convolution がある.

$\tilde{I}(x,\ y)\ =\ \displaystyle \sum_{j=-N}^{N} \displaystyle \sum_{i=-N}^{N} F(i,\ j)\ I(x\ -\ i,\ y\ -\ j) \tag{2}$

相関との違いは、入力画像と対応するカーネルの位置.

上の例では、

$\begin{array}{ccccccc} \tilde{I}(x,\ y)&=& \displaystyle \sum_{j=-N}^{N} \displaystyle \sum_{i=-N}^{N} F(i,\ j)\ I(x\ +\ i,\ y\ +\ j) \\ \\ &=& F(-1,\ -1)\ I(x+1,\ y+1) &+& F(0,\ -1)\ I(x,\ y+1) &+& F(1,\ -1)\ I(x-1,\ y+1)\\ \\ &+& F(-1,\ 0)\ I(x+1,\ y) &+& F(0,\ 0)\ I(x,\ y) &+& F(1,\ 0)\ I(x-1,\ y)\\ \\ &+& F(-1,\ 1)\ I(x+1,\ y-1) &+& F(0,\ 1)\ I(x,\ y-1) &+& F(1,\ 1)\ I(x-1,\ y-1) \end{array}$