オムライスの備忘録

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【数値解析】Monte Carlo Method / モンテカルロ法

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Monte Carlo Method / モンテカルロ法

数値計算・数値解析を乱数を用いて行う手法の総称.

乱数を用いた試行を繰り返すことで、ある問題に対する近似解を数値的に求める.

図形の面積を求める例

ある図形 F に含まれている図形 F^{'} の面積を考える.



ある図形 F^{'} の内部に含まれる点の数を n 、サンプリングした点の総数を N とし、 図形 F の領域内でサンプリングを行ったとすると、 以下の式で、図形 F^{'} の面積 S^{'} を求めることができる.

S^{'}\ =\ \displaystyle \frac{n}{N}\ \times\ S

S は図形 F の面積.



全体の面積に対して、その図形の面積がどれだけの割合を占めているかを考えている.

実像

動画

youtu.be

積分に利用する例

円周率 \pi を求める例

x^{2}\ +\ y^{2}\ <\ 1 となる領域の面積を求めたい.

モンカルロ法を用いて、面積を以下のように評価する.

  1. 0 と 1 の間の一様乱数 x,\ y を生成する
  2. x^{2}\ +\ y^{2}\ <\ 1 に含まれる点を数える

応用手法

重要サンプリング

ほとんどの領域は積分に寄与しない.



「積分に寄与する領域」は限られており、その領域だけに集中するようにサンプリングすれば、 効率よく計算できるというアイディア.

Markov Chain Monte Carlo / MCMC 法

Monte Carlo Method / モンテカルロ法 にマルコフ連鎖の考えを導入した.

参考

書籍

Web サイト