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推定

推定とは、標本を元にその標本が抽出された元の母集団分布の母数 (パラメータ、母平均や母分散など) の値を定めることである.

たとえば、ある集団の所得分布が対数正規分布に従うといっても、 その平均、分散が知られていなければ、現実の分析に用いることはできない.

「どの対数正規分布か」がわからないからである.

また、人間の身体計測値が正規分布 $N(\mu,\ \sigma^{2})$ に従うといっても、その平均や分散がわからなければ、洋服屋やスポーツ用品店にとっては、何も意味もない.

上の例のように、これから扱おうとする母集団の母数 / パラメータは実際の問題では、未知であり、これらを標本 $X_1,\ \cdots,\ X_n$ から定める必要がある.

これを母数 / パラメータの推定 / Estimation という.

推定する対象として、例を挙げるならば、標本平均や標本分散のように、母集団分布の母数 / パラメータを推定するために、標本から求めた統計量を一般に推定量と呼ぶ.

我々が推定しようとする母数 / パラメータには、母平均 $\mu$ 、母分散 $\sigma^{2}$ 、母相関係数 $\rho$ など、いろいろなものがあるが、一般性を持たせる場合には、推定しようとするパラメータを $\theta$ で表す.

推定量は、母数 / パラメータ $\theta$ にハットをつけて、 $\hat{\theta}$ のように表す.

母集団分布の母数 (パラメータ、母平均や母分散など) を1 つの値で指定する方法を点推定と呼ぶ.

「真のパラメータ」の値が入る確率が、ある値 $1 - \alpha$ 以上と保証される区間を求める方法を区間推定という.