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点推定 / Point Estimation

母集団分布の母数 (パラメータ、母平均や母分散など) を1 つの値で指定する方法を点推定と呼ぶ.

推定量 $\hat{\theta}$ は、確率変数を入力する関数であるので、その出力も確率変数となるので、
現実の $\hat{\theta}$ は、真のパラメータ $\theta$ に一致することはなく、
実際の推定には、なんらかの誤差が生じる.

誤差の評価は、推定量の標本分布を考えた確率的な取り扱いが必要である.

そこで、不偏推定量、一致推定量などの基準がでてくる.

母集団分布の母数 / パラメータを推定するために、標本から求められる統計量を、推定量と呼んでいる.

例えば、標本平均 $\bar{X}$ は、母平均 $\mu$ の推定量、
標本分散 $s^{2}$ は母分散 $\sigma^{2}$ の推定量である.

「母集団」と「標本」がこのように対応する形式になることがわかる.

推定量は、 $X_1,\ \cdots,\ X_n$ の関数で、確率変数である.

ところで、具体的に、 $n$ 個の観測値が与えられた場合、推定量を実際の数字として計算することができる.

それを推定値 / Estimate と呼ぶ.

我々が、現実のデータから計算するのは、推定値であり、
これは、推定量のとりうる値のひとつが実現したものであると考えられる.

ここで、問題となるのは、どのような統計量を推定量とするかである.

推定量の候補は、多数存在する.

計算される推定値は、真の母数の値にできるだけ近い値がよい.

2 つの手法を考える.

モーメントを通して、母集団についての情報を吸い上げる方法.

例えば、母集団分布が正規分布 $N(\mu,\ \sigma^{2})$ のとき、
母集団の 1 次、2 次のモーメントを考える.