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ARMA 過程 / ARMA モデル

ここでは、1 変量の時系列データを分析するための基本的なモデルである
自己回帰移動平均 / ARMA 過程について考える.

経済・ファイナンスデータの中には、自己相関をもつデータが数多く存在する.

そこで、自己相関をモデル化する必要が出てくるのであるが、自己相関をモデル化する方法としては、主に 2 つ考えることができる.

ここで、1 次の自己相関を例として考えてみる.

このとき、 $y_t$ と $y_{t-1}$ が相関を持つようなモデルを構築できればよいのであるが、
まず、1 つ目の方法としては、 $y_t$ と $y_{t-1}$ モデルに共通の成分を含める方法が考えられる.

例えば、 $y_t$ と $y_{t-1}$ を以下のようにモデル化したとすると、

$\left\{ \begin{array}{ll} y_{t}\ &=\ a\ +\ b \\ y_{t-1}\ &=\ b\ +\ c \end{array} \right.$

共通の成分 $b$ を通して、 $y_t$ と $y_{t-1}$ が相関をもつことが期待できる.

また、もう 1 つの方法としては、 $y_t$ のモデルに $y_{t-1}$ を含めることも考えられる.

$y_{t}\ =\ a y_{t-1}\ +\ b$

このとき、 $y_t$ と $y_{t-1}$ が相関を持つことは明らかである.

前者が、移動平均 / MA 過程の考え方であり、後者が、自己回帰 / AR 過程の考え方である.

ARMA 過程を用いた ARMA モデルの推定を考える.

モデルの推定 (つまり、パラメータの特定) には、よく、最小二乗法や最尤法が利用される.

真のモデルが定常かつ反転可能な ARMA (p, q) 過程であるとして、
与えられたデータに対し、最適な ARMA モデルを決定する方法を議論する.